学习教程来自:【技术美术百人计划】图形 1.2.1 向量基础

向量的计算

1.什么是向量

1.1.向量的定义

只有大小和方向的线段，从开始位置指向结束位置

几何意义：位置变化的方向和大小

1.2.向量与标量

只有大小，没有方向

几何意义：大小

1.3.向量与点

既没有大小，也没有方向

几何意义：位置

1.4.零向量

大小为0的向量，没有方向

几何意义：没有发生位移

2.如何计算

2.1.标量和向量的运算

乘法 除法运算

几何意义：将位移加倍（若为标量为负，则先反向再加倍）

2.2.向量的模长

每个分量的平方和再开方

$$\sqrt{x^2+y^2}$$

几何意义：位移的长度

2.3.标准化向量

单位向量

几何意义：不关心距离的位移（只关心方向）

2.4.向量与向量的运算

加减

几何意义：2段位移的叠加

2.5.两点之间的距离

从原点出发分别到2点的2个向量，相减结果的模

几何意义：如题

2.6.向量点积

点积、点乘、内积，结果为标量，满足交换律

$$a\cdot b = |a| |b|\cos\theta$$

几何意义：2个向量的相似程度/夹角/一个向量在另一个向量上的投影长度

2个单位向量的点积结果从-1到1，方向完全相反到完全重合

2.7.Lambert光照模型

模拟漫反射

$$Normal\ Dir \cdot Light\ Dir$$

2.8.向量叉积

$$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{matrix} \right]$$ $$a\times b = |a| |b|\sin \theta$$

不满足交换律，满足逆交换律

$$a \times b=-(b\times a)$$

几何意义：平行四边形面积/得到垂直于2个向量的向量（右手/左手坐标系下方向不同）

作业

向量各种计算的几何意义：见上文中

Lambert和半Lambert