学习教程来自:GAMES201：高级物理引擎实战指南2020
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笔记

1. 拉格朗日视角（Lagrangian View）

用拉格朗日粒子、三角网格、Grid等，代表跟随材料移动的节点（Sensor），不断检测自身的位置和速度


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2. 欧拉视角（Eulerian View）

一般网格本身不移动，检测穿过当前Sensor的材料的速度


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3. Mass-Spring Systems（弹簧质点系统）

用作布料系统、弹性物体等
游戏作品：《World of Goo》《Build a Bridge》


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胡克定律：i和j之间的力=-弹簧刚度（i和j距离-弹簧正常状态下长度）j到i的单位向量


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加速度和速度

3.1 离散化

时间的离散化：取一个时间步长，实现时一般将1/24或1/60的时间步长拆分为更小的步长实现

前向欧拉法（Forward Euler、显式积分explicit）：


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下一时刻的速度 = 速度 + 时间步长 x 加速度
下一时刻的位置 = 位置 + 时间步长 x 速度

Semi-implicit Euler（explicit）：


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下一时刻的速度 = 速度 + 时间步长 x 加速度
下一时刻的位置 = 位置 + 时间步长 x 下一时刻速度

Backward Euler（implicit）：

3.2 Explicit v.s. implicit（显式积分器和隐式积分器）

显式：未来的状态由过去的状态计算得出（forward Euler, symplectic Euler, RK等）
优点：易于实现
缺点：容易爆炸（在弹簧质点系统下，一个timestep中震荡了多个周期），对较硬的材质不友好（k值变大）


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隐式：未来的状态由未来和过去的状态计算得出（backward Euler, middle-point等）
缺点：难以实现和优化，每个步长变得昂贵但容忍的时间步长更大（更快），Numerical damping and locking

3.3 实现


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隐式积分


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1带入2消去xt+1


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线性化：对力f一阶泰勒展开


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移项：得到线性系统

3.4 解线性系统的方法

Jacobi iterations：雅各比迭代
Gauss-Seidel iterations
Conjugate gradients：共轭梯度

使用雅各比迭代求解vt+1


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Lecture — Jacobi Iteration Method


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增加一个系数β，分别取
0（forward/semi-implicit Euler (explicit)）
1/2（middle-point (implicit)）
1（backward Euler (implicit)）得到不同的结果


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3.5 优化

稀疏矩阵、共轭梯度、预条件、PBD等

4. SPH（Smoothed particle hydrodynamics）


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一点的物理量A由核函数累加周围（半径h之内）的每个点Ai得到
适合模拟自由表面流体（例如水），不适合非自由表面流体（例如烟雾）（需要填满整个空间，消耗大）

4.1 WCSPH（Weakly Compressible SPH）

材料倒数：跟着粒子动的倒数

加速度


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压强


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密度


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求一个物理量的梯度


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4.2 实现

  1. 求每个粒子的密度，压强


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  1. 求每个粒子的压强的梯度得到加速度


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  1. 带入求解Symplectic Euler step


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4.3 一些SPH变种

Predictive-Corrective Incompressible SPH (PCI-SPH)
隐式积分，引入预测机制，最终速度场的散度比较小，流体更加接近不可压缩

Position-based fluids (PBF)
PBD结合SPH方法

Divergence-free SPH（DFSPH）
速度上Divergence-free

4.4 CFL（Courant Friedrichs Lewy）condition

另一个对于时间步长的限制：一个步长内移动的最大距离/离子半径小于等于Cmax（叫做Courant number/CFL）


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使用一个Grid限制粒子遍历的范围，只在周围的格子里找半径小于h的粒子进行计算

4.6 其他基于粒子的模拟方法

DEM（Discrete element method）：模拟沙子等
MPS（Moving Particle Semi-implicit）：类似SPH，流体的不可压缩性更好
Power Particles: An incompressible fluid solver based on power diagrams，视觉上粒子之间的间距会非常均匀
A peridynamic perspective on spring-mass fracture

5. 一篇SPH流体和刚体耦合的论文

Interlinked SPH Pressure Solvers for Strong Fluid-Rigid Coupling
强耦合-上文：解线性系统/迭代时，2个系统联立求解
弱耦合：例如先解流体，再把流体作为刚体边界条件解刚体，再把刚体解算的得到边界条件解流体

6. 一些问题

6.1 从粒子到水面

表面重建：Marching Cube方法：把粒子光栅化到背景网格，再用三角形填充背景网格
重建前的预处理：对背景网格进行处理

6.2 屏幕空间渲染

把粒子映射到屏幕空间上，在进行渲染的计算，实时渲染方

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