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学习教程来自:GAMES201：高级物理引擎实战指南2020
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笔记内容大多为课程内容的翻译和转述，外加一些自己的理解，若有不正确的地方恳请大家交流和指正
笔记
0. 显式时间积分器和隐式时间积分器对比
显式容易实现，数值上不稳定，对dt更敏感。
隐式较难实现（通常需要求解线性系统、多次迭代、求倒数等），但允许较大dt。
1. 模拟弹性物体
弹性材质是很多材质的基础（viscoelastic粘弹性, elastoplastic弹性塑料, viscoplastic粘塑性，等）
1.1 形变 Deformation
deformation map ϕ（向量函数）把物质的静止位置Xrest映射到形变位置Xdeformed
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将此函数对静止位置求导，得到形变梯度F
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J（Jacobian）=形变后体积/静止体积=矩阵F的行列式
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1.2 弹性 Elasticity
材料具有恢复到静止状态的性质
超弹性模型Hyperelasticity
ψ：势能函数，表示单位体积的应变势能的密度（strain energy density function）。定义了应力和应变的关系
Stress：应力，材料内部的弹性力，用来恢复材料的体积形状的内力
Strain：应变，材料形变的度量，可用形变梯度F替换
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1.3 应力张量 Stress tensor
一个3x3矩阵/2阶张量，取材料微元内部的截面的法向量乘以Stress tensor，可以得到对周围邻居施加的力（应力？）（Traction）
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3种常见的Stress tensor：P、τ、σ
PK1（The First Piola-Kirchhoff stress tensor）：对ψ求导，在rest空间下计算得到应力张量（Stress tensor），不对称
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Kirchhoff stress tensor：在形变后的空间计算得到，对称
Cauchy stress tensor：在形变后的空间计算，对称（由于角动量守恒）
三者的关系的理解：3个都是stress tensor，Kirchhoff=形变梯度的行列式乘以Cauchy=PK1乘以形变梯度的转置。J形变梯度的行列式表示形变后体积的变化比值。F转置表示材料从rest space（形变前空间）到形变后的空间，F转置求逆则相反，从形变后的空间到rest space。
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1.4 几个描述弹性材料的属性 Elastic moduli
- 杨氏模量 Young’s modulus E：应力/应变之比，单位是Pa(N/m^2) ，描述固体材料抵抗形变能力的物理量，是沿纵向的弹性模量
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- 泊松比 Poisson’s ratio ν ：横向正应变和轴向正应变的比值，泊松比较大时更接近不可压缩，例如皮筋为正的泊松比，是反映材料横向变形的弹性常数
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注意：以下的量均可根据杨氏模量和泊松比计算出，故一般只给出1和2即可得到材料的弹性属性
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- 体积模量/体变模量 Bulk modulus K ：压强和体积变化的关系，单位Pa，V为原本的体积
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- Lamé’s first parameter µ
- Lamé’s second parameter λ（切变模量/剪切模量/G）：剪切应力与应变的比值，越大材料刚性越大，难以剪切
1.5 常见的超弹性模型
Linear elasticity：更适用于小范围的形变，材料在模拟时旋转后不再符合物理规律
Neo-Hookean模型：
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修正后的Corotated模型：其中σi时F的奇异值/特征值（singular values）
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2. 有限元 FEM
Finite element method：一个使用了weak formulations的离散化方法，把空间分为一个个Element（如三角元素）
2.1 弹性系统中的有限元
由于形变梯度（deformation gradient）F在一个有限元元素（element）里是一个常数，deformation map ϕ成为一个仿射变换（affine）
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元素的弹性势能：能把势能密度在体积上积分得到，由于F是一个常数，故密度也是常数，积分结果为体积乘以密度
势能定义：-力关于位置求导数 dw = -f ds
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2.2 形变梯度F的计算
以下为2维空间下，三角形作为元素的求解F（2x2矩阵）过程，已知deformation map如下
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将x分别拆分为三角形3个顶点的位置
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1-3 2-3化简
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构建矩阵B和D直接求，其中B可提前计算出（其只和静止位置相关）
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2.3 更新速度和位置
显式积分器方法，Semi-implicit Euler (aka. symplectic Euler)
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其中只求f即可，过程：势能求导=每个元素的势能求导再求和=拆出每个元素的势能，并使用链式求导法则=用PK1替换（V为常数，只剩下PK1和F导数）
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隐式积分器方法，backward Euler，其中f部分已经再上边求出，式中需要再对f求一次导数（二阶导数），M为对角矩阵，存储每个节点的质量
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