学习教程来自:GAMES201：高级物理引擎实战指南2020
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笔记内容大多为课程内容的翻译和转述，外加一些自己的理解，若有不正确的地方恳请大家交流和指正

笔记

hybrid Lagrangian-Eulerian methods

1. 算法好坏判断因素

物理属性上：

  1. Momentum：动量守恒
  2. Angular momentum：角动量守恒
  3. Volume (incompressibility)：体积守恒
  4. Energy (low dissipation) ：能量守恒

性能上：

  1. 并行性：计算上
  2. 访存：访问内存在时间和空间上的性能

算法的复杂性

2. 欧拉视角和拉格朗日视角的对比

2.1 欧拉网格

在projection阶段优点如下：

  1. 易于离散拉普拉斯算子
  2. 查找邻居效率高
  3. 易于使用geometric multigrid做precondition，使收敛变快

在advection阶段缺点：
难以避免能量耗散的问题，容易逐渐损失能量（流体粘性变高）和丢失几何细节

2.2 拉格朗日粒子

在advection阶段优点：

  1. 易于移动坐标：位置 += dt * 速度
  2. 更容易守恒

在projection阶段的缺点：

  1. 不容易离散化
  2. 查找邻居需要复杂的数据结构（如hash grid）：一般性能瓶颈在于邻居的查找和操作

3. 混合欧拉-拉格朗日方法

从上边的对比中各取所长
总体步骤：

  1. Particle to Grid transfer(P2G)：把粒子上的信息存储到欧拉网格上
  2. Grid operations：进行网格操作，把速度的散度分量投影掉（不可压缩性），边界条件的应用
  3. Grid to Particle transfer(G2P)：信息从欧拉网格到粒子
  4. Particle operations：粒子操作，移动粒子，更新材料的形变、梯度、体积等其它属性


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其中1、3步骤的过程，也会导致计算量的增加、信息的损失等问题，以下方法主要解决了P2G和G2P的过程以及advection阶段的问题，不涉及projection阶段的求解

3.1 PIC Particle-in-cell

Harlow, F.H. (1964) The Particle-in-Cell Computing Method for Fluid Dynamics. Methods in Computational Physics, 3, 319-343.

PIC中的P2G和G2P：2维范围内，属性给到周围3x3的网格，按照距离远近使用核函数计算重要性


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一些用到的核函数


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3.2 结合PIC和grid-based Poisson solver

步骤：

  1. P2G：将速度从粒子scatter到网格
  2. 在网格上解pressure，并经过projection阶段更新速度场（无散）
  3. G2P：从速度场网格获取速度给粒子，更新粒子的位置

缺点：能量耗散严重，流体粘度高


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原因：G2P阶段信息的丢失，原因是从18个自由度到2个自由度的转换
Figure from Fu et al 2017, A Polynomial Particle-In-Cell Method (SIGGRAPH Asia 2017)


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改进：

  1. 传输更多的信息：APIC（2016），PolyPIC（2017）
  2. 只传输delta值（增量）而物理量本身：FLIP

3.3 APIC(Affine Particle-in-cell)

Jiang et al., SIGGRAPH & JCP 2016


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在速度场的基础上增加了一个affine场（额外计算了dilation和shearling的力），粒子的自由度由2个增加到了6个，保证了角动量守恒

3.4 PolyPIC(A Polynomial Particle-In-Cell Method)

A Polynomial Particle-In-Cell Method, Fu et al. 2017
在APIC的基础上，粒子的自由度从6个增加到18个（线性无关的18个，理论上在P2G和G2P的过程中无损传输）


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3.5 FLIP(Fluid implicit particles)

BRACKBILL, J. U., AND RUPPEL, H. M. 1986. FLIP: a method for adaptively zoned, particle-in-cell calculations of fluid flows in two dimensions. JCP
在P2G和G2P的过程中，只传递物理量的增量（pressure projection和边界条件）而非物理量本身


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缺点：噪声大，且需要额外的空间存储grid在计算差值delta

3.6 PIC/FLIP

PIC能量耗散大，FLIP噪声大，将2者结合起来，达到能量耗散不大且噪声变小的效果
FLIP0.99 = 0.99 FLIP + 0.01 PIC

4. MPM(Material Point Method)

完整的混合欧拉-拉格朗日方法的模拟框架，粒子存储了速度、形变梯度、体积等物理量
截至2018年的关于MPM的研究：
粒子上不同物理材料的模拟，Grid上不同数据结构的使用，转换过程的研究


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MPM方法在图形学领域流行的原因：

  1. 耦合了不同的物理材料
  2. 处理碰撞和自碰撞（欧拉网格）
  3. 材料断裂的处理
  4. 模拟大形变

4.1 MLS-MPM(Moving Least Squares MPM)

A Moving Least Squares Material Point Method with Displacement Discontinuity and Two-Way Rigid Body Coupling Hu et al, SIGGRAPH 2018

关于MPM和MLS-MPM详见下一篇笔记

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