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学习教程来自:GAMES201：高级物理引擎实战指南2020
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笔记内容大多为课程内容的翻译和转述，外加一些自己的理解，若有不正确的地方恳请大家交流和指正
上一讲难产了，不知道能不能补过来了，先学这一讲吧hh
笔记
这节本质上是使用有限元的方法，最终得到一个线性系统用于求解。
1. FEM(Finite element method)
Galerkin methods（加辽金方法）的一种，FEM将continuous PDEs转化为线性系统，用于后续求解
步骤：
- 将强型PDEs转化为弱型PDEs
- 分步积分
- 散度定理进一步简化偏微分方程并得到诺依曼（Neumann）边界条件的显式形式
- 离散化
- 求解线性系统
2D Poisson’s equation 2维泊松方程：拉普拉斯方程是泊松方程的简化形式（来自知乎知乎用户Csa5DY），所以简单理解的话这里说的方程严格来说是拉普拉斯方程，但也算是泊松方程
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Dirichlet boundary：狄利克雷边界条件/第一类边界条件，直接给定u在边界上的值
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Neumann boundary：诺依曼边界条件/第二类边界条件，为u在边界上导数/梯度的值乘以法线方向
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2. 离散化求解泊松方程
2.1 化简
首先，用一个任意的二维标量函数w(x)，与强型式∇·∇u相乘，可以得到
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另外，用w直接与∇u相乘再求导，并展开（求导的展开）化简（∇·∇u=0）得到
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2边同时积分可得下方右项，因此推导成立
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散度定理（Divergence theorem）：一个体积内对x散度的面积分 = 边界上的向量函数x和法向量点乘，绕边界的线积分
因此可推
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2.2 离散
用线性的基函数ϕ模拟连续函数u(x)，如下为二维
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三维情况下，图片来源2D basis functions on a triangular mesh
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带入2.1结尾方程，同时离散化函数w和函数u
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抽出对uj求和的部分
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引入矩阵形式：
K：“stiffness” matrix 刚度矩阵
u: degree of freedoms/solution vector 自由度/解向量
f: load vector
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其中有
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2.3 边界条件
将u替换为对应的边界条件规定的关系
3. Linear elasticity FEM 线性弹性有限元
柯西动量方程：速度求拉格朗日导数（即加速度） = 1/密度 乘以 柯西stress tensor的散度 + 体积力/重力加速度
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准静态过程下：速度很小为0，重力为0
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自由度 Degree of freedom：displacement u（新的位置减去旧的位置）
3.1 求解-FEM方法
Index notion：用 , 表示求导，αβγ对应xyz轴，则原方程变化为
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其中求散度的部分乘以w
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分步积分
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约掉为0的部分
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2边积分，并使用散度定理
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离散化w和u
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带入
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求其中σ和u的关系（线性关系）
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替换符号标记表示为
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带入得到线性系统Ku = f
4. Topology optimization 拓扑优化
是一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的设计区域内对材料分布进行优化的数学方法，是结构优化的一种。（来自知乎拓扑优化（Topology Optimization）浅谈）
